人类理性是如何实现“概率转向”的？它真能满足决策需要吗？丨展卷
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苏格拉底：不过还有提西阿斯，他是你反复研究过的，他口中的可能性，除了符合多数人的意见外，还有没有其他意义呢？
斐德罗：真的，还有什么其他意义呢？
——柏拉图《斐德罗篇》
撰文 | 约翰·凯（John Kay，伦敦经济学院客座经济学教授，牛津大学圣约翰学院研究员）、默文·金（Mervyn King，英国经济学家，英国央行前行长）
翻译 | 傅诚刚
本文摘编自《极端不确定性》（中信出版集团，2022年7月）
在实际生活中，人们通常需要在信息不完整的充满不确定性的情况下作出决策，为了寻找清晰全面的解决方案，学者们试图不断扩大概率推理的应用范围，其背后的数学不但有一种简洁和美感，且在实际应用方面，人们只需掌握少量必要的知识和技术便可操作。概率推理理论的魅力是可以理解的，但我们怀疑这门学问直到17世纪才发展起来。
人类推理的“概率转向”据说始于这样一个故事：一名叫作“梅雷骑士”的赌棍向数学家兼哲学家帕斯卡求取计算赌博结果的方法。帕斯卡转而求教一位声望更高的法国博学家费马。帕斯卡和费马于1653-1654年的书信来往被认为是首次正式的概率学分析。
历史学家和数学家都曾思考过这个问题：在人类思想史中，为何帕斯卡和费马的发现出现得如此之晚？古代雅典曾有世界上最早且最优秀的数学家，且雅典人也赌博。为什么这些数学家没把将他们的专业才能用在日常消遣上呢？毕竟就如数学家们所说，概率论不是很难。
柏拉图不断寻觅，最终发现了逻辑的真理。对他来说，真理和可能性之间相差甚远，前者不证自明，后者只是人们的观点而已。前现代思想中没有可能性这个概念，因为当时人们认为事物的发展全部遵循神明的意志，虽然人们不知道其发展的轨迹，但这种轨迹是既定的。这意味着当时的人们为了消除事物的不确定性，不会去使用数学的手段，而是祈求神祇的垂怜。因此，他们经常会做出现代人看来滑稽可笑的事情，比如用祭品的内脏来占卜，或者通过祈祷取得神谕，这些做法曾持续数千年。当下我们依然可以寻得这类做法的延续，现在还有人相信占星术用茶叶占卜或者迷信那些据说可以预见未来的大师的预言。
由此可见，不仅用数学来表达概率这种做法历史短暂，概率成为一个现代化的概念本就没过多久。现在的概率，指的是在多种可能结果中某一结果出现的可能性的量化表达。即使到18世纪，爱德华·吉本（编注：英国近代杰出历史学家）在描述汉尼拔穿越阿尔卑斯山时还这样说过：“李维的叙述更倾向于历史可能的情况，而波里比阿则更倾向于历史实际的样子。”在提到朱维安皇帝的败军曾接受过胜利的波斯军队的补给时，他曾写道：“这种情况可能发生，但不是真相。”
吉本说的究竟是什么意思呢？“证明”（prove）、“可能”（probable）和“认可”（approve）这三个单词的词根相同。我们今天对这三个词的用法让我们很难看出这层关联，但对中世纪的作家来说（对吉本来说也是如此），这层关系非常明显。因为对他们来说，“可能”的意思是“被大多数头脑正常的人认可”。在那个真理由神权和世俗权威掌控的时代，所谓头脑正常的人，可能会拒绝用伽利略的望远镜进行观测，因为教会宣称伽利略声称自己通过望远镜看到的东西并不存在。
1660年，英国头等科研机构皇家学会建立，并将“口说无凭”（nulliusinverba，现在人们私下里将其译为“不要听信任何人的言论”）作为自己的格言，这句话强调了实验的重要性，并告诫人们要勇于挑战权威。现代关于概率的概念很可能源自17世纪科学推理的发展，这种推理是工业革命的先决条件，也为工业革命推动经济迅速发展奠定了基础。概率论的发展促成了市场风险的诞生，因而进一步促进了经济发展。
死亡率表和人寿保险
在帕斯卡和费马鸿雁传书的时候，一位英国布匹商人约翰·格朗特正在搜罗伦敦各大公墓的记录。格朗特将墓地死者的死因记录下来整理成数据，而通过这些数据，即便无法防止瘟疫的暴发，至少也可以观察到瘟疫扩散的规律。他将死亡记录按不同年龄段整理出来，他对这些数据的分析后来发展为精算师用来计算年金和人寿保险合理价格的表格。格朗特受到了资助人兼好友威廉·配第爵士的协助。后者曾撰写《英格兰统计账目》，它是英国国民经济核算的前身，而国民经济核算由统计学家编制并被经济学家大量引用。
英国皇家学会迫切地想要进一步发展格朗特的研究，于是收集了大量波兰布雷斯劳市（今弗罗茨瓦夫市）市民出生和死亡的记录，这些记录特征分明，对研究也大有助益。分析这些数据的任务落在了埃德蒙·哈雷的肩上。提到哈雷其人，人们更耳熟能详的是以他的名字命名的彗星，哈雷彗星每75~76年就会出现一次。哈雷编制了世界上首张死亡率表，人们可以用此表格推算预期寿命。
英国公平人寿保险公司创立于1761年，这家公司之所以如此命名，是因为它是首家用科学算法来计算保险金额，以保证投保人能够被平等对待的公司。该公司用的死亡率表是用英国北安普敦的人口死亡数据制成的。该公司的做法是最早的概率转向尝试之一，这些尝试让概率论不再局限于赌桌，而是应用于那些非偶然事件随机产物的产生过程。
之所以可以这样使用数据，是因为人们假定人口死亡的决定因素是稳定的——导致人们死亡的事件每年变化很小。但现实中的事件会时不时地打破这个假定，例如17世纪的大瘟疫、20世纪的西班牙流感和艾滋病。此外，由于卫生条件、公共健康和医疗水平的改善，人口死亡率在20世纪大幅降低。近年来，全球人口的预期寿命年均增长约3个月。虽然多数人已经知道，在我们撰写本书时，这种增长在美国已经暂停了，但其实欧洲的情况和美国相同，只不过没那么广为人知。这种情况究竟是一个持续过程中暂时的停顿，还是一个根本性的变化？是一个随机的偏差，还是一个大变动？现在我们无法回答这些问题——或许我们永远都无法回答。有些事情是我们未知的，有些事情是我们不知道自己未知的。有的事情是我们以为自己已知的，但事实并非如此。
变为概率的不确定性
亚伯拉罕·棣莫弗也是一位法国数学家，他在帕斯卡和费马的基础上进一步发展了应对概率游戏的数学方法。与许多和他信仰相同的人一样，17世纪80年代，棣莫弗在路易十四清洗胡格诺派时逃往英国。他在那里结识了哈雷，并逐渐了解了哈雷的概率分布研究。棣莫弗将他故国同僚的概率论数学和英国新知的实验调查法相结合。他问出了这样的问题：
“若多次进行概率游戏，那么游戏结果的概率分布将会如何？”打一个比方，如果你抛1000次硬币，平均算来，你应该抛到500次正面，但如果你真的这样做了，一般很少能正好抛到500次正面，那么你抛到正面次数为499或者510的概率又是多少呢？
棣莫弗发现，这些问题的答案若要转化成数据，那么这些数据就会汇成一条钟形曲线，也就是现在所说的正态分布。正好抛到500次正面的概率为2.523%——约等于1/40。如果你抛1000次硬币，然后数一下抛到正面的次数，之后多次重复这个过程，那么得出的结果就取决于正态分布给出的理论概率。当然，头脑正常的人都不会这样身体力行，但现在你可以让计算机或者机器人替你完成这项工作。每进行约40次这样的实验，你都会得到一次500次正面的结果。抛到499次正面的概率比抛到500次稍微小一点，略小于2.517%，因此你每进行约40次这样的实验，也会得到一次抛到499次正面的结果，抛到501次正面的结果也是一样。抛到485~515次正面的概率约为2/3，而如果你只抛到100次正面，那么你遇到的事件，其概率是极其极其小的。
如果事件的过程是平稳的，那么人们通常可以将其套入某个概率分布模型——每年气温或降水量的变化就是案例。这些案例展示了抽象理论给出精确预测的能力，这种能力是如此惊人，以至我们不难理解为何之后的研究倾向于夸大这些理论的应用范围。20世纪初，概率论被用来预测概率游戏以及分析平稳过程产生的数据，从而证明了自身的价值。那个时代伟大的经典统计学家们不断探索，取得诸多成就，这些成就为自然科学和社会科学的诸多领域提供了许多有用的工具。统计学家也因此在科学领域安居一席之地。人类思维的概率转向让经济学家和其他社会科学家坚定地在概率论这条路上走了下去。
点数分配问题
梅雷骑士问帕斯卡的问题被称为“点数分配问题”，这个问题是现代概率论的开端。假设骑士的沙龙里某个概率游戏被打断了，既然结果是不完整的，那么游戏的奖励在玩家之间如何分配才算公平？举个例子，假如两名玩家一共下注100个金路易，并约好赢者通吃，A公爵赢了3局而B侯爵赢了1局，但是玩至中途，公爵受国王召见，这场夜晚的娱乐活动也不得不匆匆结束。
在帕斯卡之前，人们普遍认为应该把奖金的3/4给A公爵，因为已经玩了的4局游戏中他赢了3局。15世纪末，会计学的始祖之一、意大利数学家卢卡·帕乔利曾详细阐述过这种解决方案，且这种方案乍看来似乎公平可行。但骑士怀疑帕乔利没能给出正解，之后帕斯卡和费马这两位伟大的数学家也证明他的怀疑是有道理的。如果游戏继续，那么侯爵要想赢，就必须赢下剩下的3局。如果每名玩家赢得1局的概率各为1/2，那么侯爵最后3局全赢的概率只有1/8。这种情况下公爵获胜通吃的概率为7/8。因此，帕斯卡和费马认为奖励应该按照这个比例分配。
帕斯卡和费马在给出结论的过程中，提出了三个对后续所有研究都至关重要的概念。首先是“概率”这个数学上的概念——指赢得任何一场游戏的可能性。其次是一种计算方法，叫作“复合概率”——用复合概率，我们可以通过一局游戏的获胜概率计算连胜3次的概率，也就是1/2的三次方。最后是期望值——如果某场游戏多次重复，每位玩家可能赢到的钱数。时至今日，我们可以用计算机编程来模拟这个场景，让其不断重复，以此确认我们算出的期望值是否就是当晚情况不断重演后的结果。（在骑士的沙龙里，估计同样的情况确实会一遍遍重复。）
早在当时，在解决点数分配问题的过程中，概率分析的力量就得以展现。帕斯卡给出的答案看似和人的直觉不符，但若你明白了他的思维逻辑，这个答案便十分令人信服。概率分析的重点不在于分析已经发生的事件，而在于预测未来。如果公爵和侯爵打算赌100局，那么公爵一开始和侯爵3∶1的优势就变得微不足道。但如果两人只打算赌5局，那么侯爵就败局已定——因为第五局的胜负不会改变最终结果，甚至届时两人都不会赌第五局。
贝叶斯的妙处
概率论发展的最后一棒，落到了一个意想不到的人手上——18世纪的一名英国乡村长老会名不见经传的牧师。巧合的是，这位名为托马斯·贝叶斯的牧师被葬在了现在伦敦金融区的中心。在他的诸多论文中，贝叶斯给世人留下了当今统计学最为广泛传授的理论之一。虽然生前不为人所知，但时至今日，他的名字已家喻户晓，统计学和经济学的某些分支都以他的名字命名。“贝叶斯”一词代表的不仅是一种统计技巧，而且是一个学派，它是一名在肯特郡郊区独自钻研的学者留下的学术遗产。
通过贝叶斯定理，我们可以计算条件概率：在事件B已经发生的前提下，事件A发生的概率是多少？虽然帕斯卡和费马没有像这名肯特郡牧师一样得出一个普遍性结论，但梅雷骑士的点数分配问题其实也是一个条件概率问题。我们很难想象贝叶斯牧师的交际圈里会有类似梅雷骑士的沙龙里那帮人一样的贵族赌徒，但现在让我们的思维发散一下，假设贝叶斯牧师就在那场沙龙里，用摆在精美壁炉台上的贝叶斯表盘记录赌局的情况。表盘上的指针会指示出每位玩家获胜的概率，表盘刻度的一端是获胜概率为零，另一端是获胜概率为100%。因为这场游戏是公平的，所以表针的初始刻度为50%。当公爵赢了第一局游戏时，牧师用自己的定理迅速进行运算，随后表针倾向公爵一方——其刻度约为67%。当侯爵赢得第二局游戏时，表针又回到了50%的初始位置。但后来公爵又连续赢了第三和第四局，表针又开始转动，因此当国王叫走公爵，游戏中断的时候，表针在公爵的一方，刻度为87.5%。
上面提到的贝叶斯表盘将贝叶斯推理可视化。在处理不确定因素时，我们会用先验概率去衡量不确定事件。因为骑士的赌桌上人人获胜的概率相等，所以每人获胜的先验概率就是50%。但随着游戏的进行，玩家不断提供新的信息，先验概率也不断改变。表针第一次转动的时候，它记录的是A公爵的获胜概率，而此获胜概率的前提是公爵第一局赢了。之后A公爵的获胜概率不断调整，但之后的所有调整都以A公爵第一局获胜但B侯爵第二局获胜为条件。获胜概率的先验条件以此类推，随着游戏的进行而不断叠加。
蒙提·霍尔
蒙提·霍尔悖论充分体现出贝叶斯定理的强大。这个悖论和20世纪60年代的美国智力问答节目《来做交易吧》有关，它由该节目的主持人蒙提·霍尔的名字命名，节目的嘉宾需要猜出藏在幕布后面的奖品在哪里。蒙提·霍尔悖论最初由美国统计学家史蒂文·塞尔温提出，此后该悖论一直被后续的研究和文献提及。节目中，参与者会看到三个盒子，主持人已经在其中一个盒子里放入车钥匙，而另两个盒子是空的。如果参与者选择了那个装有车钥匙的盒子，则他们获胜。参与者做出选择后，蒙提会打开另两个盒子中的一个，他打开的那个盒子必定是空的，以此排除一个错误选项。之后参与者可以维持原来的选择，也可以改选剩下的那一个盒子。
凭直觉来说，一开始钥匙在任何一个盒子中的概率都是相同的，现在只剩下两个盒子可供选择，而这两个盒子中有车钥匙的概率也应该是相同的，因此没必要改变主意。但这种纯凭直觉的判断是错误的。蒙提知道哪个盒子里装有车钥匙。如果车钥匙在你最初选的那个盒子里（这种情况的概率有1/3），那么蒙提打开哪个盒子都不要紧。但你如果做出了错误的选择（这种情况的概率有2/3），那么蒙提必须小心地辨认哪个是空盒子，哪个是不应该打开的装有车钥匙的盒子。所以看起来车钥匙更可能在你没选的盒子里（概率为2/3）而不是在你选中的盒子里（概率为1/3）。蒙提在不知情的情况下，已经向你透露了一条信息：你没选的那个盒子里有车钥匙的概率是2/3，因此你应该改变主意去选那个盒子。
如果你觉得这种说法难以置信（对大部分人来说都是如此），那就想象一下，如果供人选择的盒子不是3个，而是100个。当你做出选择时，蒙提会打开98个空盒子。虽然车钥匙还是有可能在你选中的盒子里，但与之相比，车钥匙在蒙提没有打开的那个盒子里的概率要大很多。如果这依然无法让你信服，很多网站上都可以找到计算机模拟的蒙提·霍尔游戏，你可以玩一下试试。很快你就会发现，改变你的选择胜算会更大一些。点数分配问题和蒙提·霍尔的电视节目中体现出了概率论数学的价值。这两个例子中，人们都通过概率推算，为不可预料的结果提供了令人信服的推论。
无差别原则
解决点数分配问题和蒙提·霍尔悖论所仰仗的原则后来被称为无差异原则——如果我们没有办法证明一件事发生的可能性大于另一件事，我们就可以认定两件事发生的概率相同。我们假定公爵和侯爵在剩下的游戏中的获胜概率是相同的，这可能是因为我们知道此类游戏结果的概率分布模式，因而得出这个结论。至于蒙提·霍尔悖论，我们知道那把车钥匙可能在任何一个盒子里，因此每个盒子里有车钥匙的概率为1/3。
在两次世界大战的战间期和二战期间，凯恩斯因其对英国乃至全世界公共政策所做的贡献而为世人所知。然而鲜为人知的是，一战之前，就读于剑桥大学国王学院的凯恩斯为申请奖学金完成了一篇论文——实际上也是他的博士学位论文。这篇论文成了凯恩斯于1921年发表的《论概率》的基础。文中有一章讲的就是无差异原则。凯恩斯坚决拒绝该原则的大范围应用，其态度可以总结如下：
举个例子，如果我们对世界各国的地域和人口信息一无所知，那么某人是大不列颠人的可能性就和他是爱尔兰人的可能性一样大。因为我们没有理由相信一者的可能性大于另一者。这个人是爱尔兰人的可能性也和他是法国人的可能性一样大。那么同理，他居于不列颠群岛的概率和他居于法国的概率也相同。但这些结论前后矛盾。因为我们通过前两个结论，可以得出如下结论：此人是不列颠群岛人（大不列颠和爱尔兰同属不列颠群岛）的可能性是他是法国人的两倍。如果我们可以证明，只有在知道不列颠群岛由大不列颠和爱尔兰组成的情况下，一个人来自法国的可能性才更小，若是不知道这个信息，情况就不是如此，那么三个结论的前后矛盾便不复存在。但我不认为我们可以做此证明，因而三个结论的前后矛盾是无法解决的。
如果我们对世界地理一无所知，那么如果有人问起“一个人住在法国的可能性有多大”，唯一合理的回答则是“我不知道”。
谈及无差别原则时，凯恩斯写道：“任何逻辑理论、方程公式，其力量和无差别原则相比都不足为奇。因为该原则在一无所知的前提下证明了上帝的存在。”凯恩斯这里显然是想到了“概率论之父”帕斯卡的著名“赌注”，帕斯卡曾言：“上帝要么存在，要么不存在。人们无法以理性确认这一点……因此你必须下注，不能不下……让我们衡量一下赌上帝存在与否的利弊得失吧。这场赌注有两种情况。你若赌对，则将赢得一切；你若赌错，那你也没什么损失。那么不要犹豫，赌上帝存在吧。”帕斯卡的此等计算首次将概率和对可能结果的主观衡量相结合，以此来应对最根本的不确定性。
点数分配问题和蒙提·霍尔的游戏都是人为设计的问题，这些问题的规则、细节和答案都十分明确。例如，我们知道公爵和侯爵一共打算玩几局游戏；我们也知道，或者说已经能猜到，蒙提·霍尔知道哪个盒子里有车钥匙。这些问题的答案很大程度上受这些预设前提的影响——在这两个例子中就是如此。电视节目里选盒子的结果，其前提是蒙提知道哪个盒子里有车钥匙（虽然有时候观众对此并不知情）。如果他不知道，那么问题就大不相同了。蒙提可能打开有车钥匙的盒子，使得参赛者最后一无所获。如果蒙提不知道哪个盒子里有车钥匙，那么他是否打开那个空盒子就全靠概率：对获奖概率的最初判断是正确的，三个盒子里有车钥匙的概率确实相同。但观看该节目的乐趣所在，就是参赛者面临选择时的焦虑——到底该不该改变自己最初的选择，同时现场的观众也会大喊着给出建议。（或许现在我们很难理解现场观众喧闹声的吸引力，但当年，在《来做交易吧》这个节目里，现场观众的热情参与也是其吸引电视节目观众的元素之一。）
如果每个人都知道了其背后的原理，那么这个节目还会像之前那么有趣吗？观众还能相信最初的规则仍未改变吗？现实生活永远是复杂的。很多财经评论员和教师都会引用蒙提·霍尔悖论，他们想借这个例子说明只有在详细列出所有假定的前提后，才能“解决”人为设定的问题或模型。他们的观点是正确的。但在一个极端不确定的世界里，很难找到条件详尽、前提十分清晰的问题。在概率论数学中，所有可能事件的概率之和必须是1。所以，如果我们知道车钥匙可能在两个盒子中的一个里，那么每个盒子里有车钥匙的可性则为1/2；如果共有三个盒子，概率则为1/3。如果车钥匙在一个盒子中的概率为另一个盒子的2倍（且第三个盒子必须是空的，钥匙只在这两个盒子中的一个里），那么这两个盒子里有车钥匙的可能性分别为2/3和1/3。但在一个极端不确定的世界里，如果我们无法将所有可能事件全盘列出呢？如果这样尚且无法做到，那我们就更不可能计算出所有事件发生的概率了。在本书随后的篇幅里，我们会向读者展示这个问题对概率的广泛应用来说有多么重要。
贝叶斯和诊疗室
蒙提·霍尔悖论是轻松的娱乐活动，但癌症的诊断事关生死。医疗健康组织正努力促进乳腺癌和前列腺癌的大排查。这些排查癌症的检测不可能是完美的：有时检测的结果是假阴性，这就给了患者错误的保障；有时检测的结果是假阳性，让患者白白担忧。假设通过乳腺X线摄影，可以查出90%患癌女性身上的乳腺癌（这个数据被称为检测的灵敏度），也可以准确排除90%未患癌女性身上患癌的可能（这个数据被称为检测的特异度）。实际上，乳腺X线摄影的有效性可能还达不到上述数据。
当然，大多数女性并未患有乳腺癌。如果全世界女性患乳腺癌的概率为1%，那么女性乳腺摄影结果为阳性且真的患有乳腺癌的概率又是多少呢？这个问题的答案让包括许多医生在内的人都大吃一惊。每1000名女性中，大约有10名女性可能患乳腺癌，其中通过癌症检测，有9名女性的癌症可以被查出来，但剩下的990人中，有99人（也就是1/10的人）的检测结果会呈阳性。所以1000人中会有108人的检测结果为阳性，其中9人确实患有癌症，其余99人并未患癌。那么某位女性检测结果为阳性且患乳腺癌的条件概率则为1/12，也就是说，一个阳性检测结果的准确率只有1/12。
前面的一系列计算是基于德国心理学家格尔德·吉仁泽举的一个例子。十多年来，吉仁泽掀起了自己的运动，其目的是反对那些促进排查常规化的运动。乳腺癌和前列腺癌的随机排查，其害处可能远大于益处。因为这些病情的过度诊断有可能让患者产生不必要的担忧并做多余的手术。排查检测要想更为有效，一种方法是把排查对象局限在比总体人口更容易患癌的人群当中，另一种方法就是提高检测的灵敏度和特异度。吉仁泽收集的证据表明，有的从医人员对贝叶斯定理一无所知，因而会严重夸大患者患病的风险和此类检测结果的可信度。这些医生只着眼于因及时检查而救下的寥寥患者，却忽视了那些接受多余治疗并深受其害的大批患者，后者的数量可是远超前者。
在对乳腺癌排查的分析中，吉仁泽充分展现了自己的判断力和经验。在这个案例中，通过一个概率模型，他把患癌率的计算转换为一个人为设置的问题并使这个问题得以解决。当然，吉仁泽并没说自己记录的是乳腺癌的真实患病情况，也没有澄清案例中癌症排查检测结果的真实性。但他的分析强有力地证明了一件事情：那些只懂医学不懂概率学的专家很可能会严重误导患者。
这些强大的概率模型很难应用到现实生活中——现实中，相比不易患乳腺癌的女性，容易患乳腺癌的女性更可能去拍乳腺摄影，这一点不难理解。无论是让梅雷骑士思考点数分配问题的那场赌局，还是蒙提·霍尔悖论，在这些概率游戏中，所有的因素要么是已知的，要么是未知的，要么是确定的，要么是随机的。但在大多数情况下，已知和未知、确定和随机这种二元对立在现实中并不存在。我们知道某些事，但总是了解得不够透彻。这就是极端不确定性的本质。
在分析癌症的随机排查时，吉仁泽并没有误以为非实物实验得出的概率可以应用到现实生活中。他没有声称自己计算出了现实中任意女性患乳腺癌的概率。若想计算现实生活中事件的概率，那么不仅要用该事件的模型计算概率，还要计算该模型在现实中真实性的概率，最后将这两个概率相结合。但我们无从得知模型在现实中的真实性，我们甚至很难理解“世界的代表即为世界的概率”这个概念。很多人难以分辨何为“运气不好”（即在一个模型范围内可能性极小的事件），何为模型本身存在问题，关于这一点，我们在后面的篇章中再做详细解释。
本文摘编自《极端不确定性》第4章《用概率思考问题》。
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